二階濾波器的特性分析

二階濾波器的重要性不僅僅是在于他們本身，而且還在于他們是構造高階濾波器的重要組成部分，因此本篇主要學習關于二階濾波器的理論及其響應的特性。

對于二階濾波器都可以表示成如下的標準形式，這個標準形式對于下面討論二階濾波器的響應是很有理解作用的，其中式中ω0為無阻尼自然頻率，N(s)為一個m≤2的多項式。

1.png

H(s)的分母函數有兩個極點可以計算出來為

2.png

關于ξ的函數，根軌跡如下圖所示，其中有下面的四種情況

1.當ξ>1，極點為實數并且為負數，自然響應是由兩個衰減的指數項組成，這別稱作為過阻尼。

2.當0<ξ<1，極點為一對共軛復根，可以表示為p1,2=-ξω0±jω0sqr(1-ξ^2),這些極點都位于左半平面，此時稱為欠阻尼，欠阻尼狀態也是二階濾波器中經常要保證的狀態。

3.當ξ=0，p1,2=±jω0這表明這兩個極點恰好都在虛軸上，自然響應式一個恒定不變的未受衰減的正弦信號，他的頻率為ω0這也是ω0名稱的由來。

4.當ξ<0,極點位于右半平面，響應為發散的，因此濾波器為了保持穩定必須有ξ>0.

3.png

s→jω0可以得到如下的頻率響應，其中的Q值將會在濾波器的特性中起到關鍵性的作用。

4.png

二階響應，可以高頻漸進線的陡峭程度增加了兩倍斜率，還能對w/w0=1附近頻域的幅度形狀調節增加了自由度，在實際應用中，Q值的范圍為0.5~100，對于不同的Q值幅度如下圖所示，對于低Q值而言，從一條漸近線到另一條的過度時平緩的，對于高Q值，在w/w0=1的附近頻帶內有|Hlp|>1，這種現象稱為峰化。可以證明，在出現峰化之前，Q的最大值是Q=0.707.他響應曲線稱為最大平伏或者稱為巴特沃茲響應，在巴特沃茲響應中w0的意義與一階響應情況一致，都代表了-3dB頻率，也稱作截止頻率。

5.jpg

N(s)對于濾波器的影響是濾波器的性質，下面的幾個式子分別為幾種不同特性的濾波器的表達式

低通濾波器

6.png

高通濾波器

7.png

帶通濾波器

8.png

帶阻濾波器

9.png

全通濾波器